علی‌آباد

پَختستان: رمّانِ بُعدهای بسیار

شنبه, ۱۰ اسفند ۱۳۹۸، ۰۵:۰۰ ق.ظ

روی میزی از میزهاتان در مکان، یک سکه بگذارید و دولّا از بالا نگاهش کنید: آن را یک دایره می‌بینید. حالا خود را پس بکشید به لبِ میز و کم‌کم چشم را پایین ببرید، و ببینید که شکل سکه هر لحظه بیضوی‌تر می‌نماید، تا آن‌که عاقبت، وقتی چشم‌ها درست مقابل سطح میز قرار گرفت، خواهید دید که سکه دیگر حتی بیضی هم نیست و به چشم شما چیزی جز یک خط مستقیم نمی‌آید. اگر سکه‌تان به جز دایره، هر وضع دیگری هم داشته باشد، مثلث یا مربع یا یک چندضلعی باشد، باز هم وقتی با چشمی بر لب میز نگاهش کنید، دیگر چیزی جز یک «خط مستقیم» نمی‌بینید… به «پختستان» خوش آمدید!

 «پختستان» رو چند روز پیش خوندم. کتابی با ایده‌ای متفاوت و تمثیلی بدیع. دنیای داستان، صفحه‌ای تخت و گسترده است و راوی داستان، آقای مربعی به طول ضلع یازده اینچ! مردم در این دنیا به شکل چندضلعی‌اند و شکل‌شون گویای طبقه‌ی اجتماعی‌شون. مثلث‌ها قشر کارگران و سربازان رو تشکیل میدن. مربع‌ها و مخمس‌ها کارمند و معلمن. شش‌ضلعی‌ها و بالاتر اعیانن، و در نهایت دایره‌ها حاکمان و کاهنان سرزمین هستن. البته این‌ها همه مربوط به مردهاست. جماعت نسوان چیزی به جز خط مستقیم نیستن، و البته امکان تحصیل یا کسب منصب دولتی رو ندارن!

نیمه‌ی ابتدای کتاب به شرح آقای مربع از دنیای دوبُعدی‌شون اختصاص داره. از توصیف شرایط جوی و معماری خانه‌ها در پختستان گرفته، تا ماجرای انقلاب ناکام اشکال برای تغییر حکومت! این بخش بیشتر به نقد جامعه می‌پردازه که البته بی‌شباهت به دنیای امروزیِ ما انسان‌ها نیست.

نیمه‌ی دوم کتاب که اوج داستانه، قصه‌ی مواجهه‌ی آقای مربع با دنیاهای جدیده که معرفت جدیدی بهش می‌ده. چند روز مانده به شروع هزاره‌ی سوم، کُره‌ای به ملاقات مربع میاد و راز بُعد سوم و جهان واقعی رو براش افشا می‌کنه...


    چی شد که خوندمش؟

اسم و ماجرای کتاب رو چند سال پیش شنیده بودم. تا اینکه سر کلاس ریاضی‌دو استادمون چند معما از ابعاد چهار و بالاتر رو مطرح کرد و قرار شد که خودمون به اون مسائل فکر کنیم. این تلنگر باعث شد که یاد کتاب بیفتم؛ شاید همون‌طور که مربع تونست با جهان بالاتر آشنا بشه، من هم بتونم به روش مشابه با جهان چهاربعدی مواجه بشم!


   چه کسی باید این کتاب رو بخونه؟

اگر مثل من شیفته‌ی ریاضیات و هندسه هستید، این کتاب براتون تجربه‌ی هیجان‌انگیزی رو به دنبال داره و دیدتون به دنیای اشکال رو گسترش می‌ده. در بعضی مدارس دنیا، معلم‌های ریاضی از این داستان برای آموزش شهود هندسی به دانش‌آموزها استفاده می‌کنند.


    پند اخلاقی؟!

آقای مربع بعد از آشنایی با حقایق بُعد سوم، رسالت پیدا کرد تا اهالی پختستان رو با این بینش  جدید آشنا کنه. تصمیم گرفت که برای شروع، این راز رو با نوه‌ی مسدس(شش‌ضلعی)ش در میان بذاره. پس به این ترتیب شروع کرد که «اگر نقطه رو در یک جهت به طول سه اینچ امتداد بدیم، خطی به طول سه اینچ ترسیم می‌شه. اگر خط رو در جهتی موازی با خودش امتداد بدیم، مربعی می‌سازه که هر ضلعش سه اینچ طول داره. حالا اگر این مربع رو سه اینچ در جهت بالا امتداد بدیم...» نوه پرسید: «جهت بالا یعنی رو به شمال؟» آقای مربع که اسباب‌بازی مربع‌شکلی رو در دستش تکان می‌داد: «نه! رو به بالا. نه شمال و نه راست. در جهتی عمود بر این‌ها... مربع رو حرکت می‌دهیم... یک جایی. نه دقیقاً این‌طور، بلکه یک طوری...» نوه از حرکات دست پدربزرگ به خنده می‌افته: «درسم نمی‌دهید، دستم می‌اندازید!» و اتاق رو ترک می‌کنه.

برای نوه‌ی مربع، حقیقت دنیای سه‌بعدی خنده‌دار به نظر می‌رسید چون همچین چیزی با تجربه‌اش و آنچه تا به حال دیده هیچ سازگاری نداشت. در واقع ذهنش محصور به جهت‌های شمال و جنوب و راست و چپ بود که در زندگی روزمره لمس کرده بود. مثل کاهنانی که در پایان کتاب مربع رو به حبس ابد محکوم می‌کنند چون مردم رو به چیزی فرا می‌خونده که قابل دیدن و تجربه کردن نیست! همون طور که نویسنده اشاره‌ی کوتاهی می‌کنه، این دیدگاه رو میشه «از پختستان تا فکرستان» تعمیم داد. حتماً داستان محاکمه‌ی گالیله در کلیسا رو شنیدید. گالیله از یافته‌های علمی صحبت می‌کرد در حالی که قوه‌ی تفکر کشیش‌ها محدود به برداشت‌شون از کتاب مقدس بود و هیچ نگاهی عمود بر مذهب رو تحمل نمی‌کردند.

یکی از نتایج این کتاب برای من، این بود که ذهنم رو به چند بعد محدود نکنم. اگر یک پدیده‌ای برام غیرقابل فهمه و هرچه در راستای تفکرم اون رو تحلیل و جلو عقب می‌کنم به درکی نمی‌رسم، شاید برای اینه که دریچه‌ی ذهنم رو برای بُعد جدیدی از شناخت بسته‌ام. «رو به بالا، نه رو به شمال» شعار آقای مربع بود. این شعار رو به یاد میارم هروقت خودم یا دیگری رو اسیرِ ابعاد و باورهایی دیدم که نمی‌ذاره جهان و پدیده‌ها رو اون‌طور که واقعاً هستند ببینیم.


    چند تمرین ریاضی :)

گفتم که چند مسئله در کلاس ریاضی‌دو باعث شد سراغ این کتاب بیام. شما هم اگه علاقه‌مند هستید می‌تونید درباره‌شون فکر کنید.

مسئله اول: در صفحه، دایره یعنی مجموعه نقاطی که از مرکز فاصله‌ی مشخصی دارند. در فضا، کره متشکل از نقاط سه‌بعدیه که فاصله یکسانی از مرکز کره دارند. به همین ترتیب می‌تونیم گوی چهاربعدی رو تعریف کنیم: مجموعه نقاطی در فضای چهاربعدی که فاصله ثابتی از مرکز گوی دارند. ما مساحت دایره و حجم کره رو محاسبه می‌کنیم. حالا، اندازه این گوی فرضی چهاربعدی چقدره؟

مسئله دوم: خط، امتداد نقطه است. مربع، امتداد خط. مکعب، امتداد مربع در بعد سوم. پس می‌تونیم قیاس کنیم که با امتداد مکعب در بعد چهارمی، به ابرمکعب می‌رسیم. می‌تونیم تعریف‌مون رو به بعد پنجم و ششم و... هم گسترش بدیم. درباره مکعب چی می‌دونیم؟ مکعب هشت رأس، دوازده یال، و شش وجه داره. این اعداد برای یک ابرمکعب به چه صورته؟ در حالت کلی، یک مکعب n-بعدی دارای چند وجه m-بعدیه؟

شکل: نمایی فرضی از ابرکره و ابرمکعب!

البته برای مسئله اول به دانش انتگرال و المان‌گیری نیاز دارید. ولی مورد دوم رو می‌تونید با ریاضیات دبیرستان و کشف الگوهای عددی بررسی کنید.


پ.ن۱: کتاب مربوط به قرن نوزدهم میلادیه و نثر قدیمی داره. خوشبختانه یا متأسفانه، مترجم فارسی تلاش کرده تا سبک کهن متن رو حفظ کنه. در نتیجه کتاب پر از لغات قدیمی و ناشناخته است و احتمالاً اگه انگیزه‌ی کافی برای خوندنش نداشته باشید، بعد از چند صفحه کتاب رو دور می‌اندازید! امروز فهمیدم که چند اقتباس سینمایی هم از این کتاب موجوده. یکیش Flatland(2007) که یک انیمیشن بلند یک‌ساعت‌ونیمه است. مورد دیگه Flatland: The Movie که انیمشین کوتاه نیم‌ساعته است و از نظر تکنیکی کیفیت بالاتری داره. عکس ابتدای پست رو هم از پوستر همین فیلم برداشتم. اگه حوصله خوندن کتاب رو ندارید و با انیمیشن حال می‌کنید، دیدنش توصیه میشه. هرچند بسیاری از بخش‌های کتاب لاجرم در فیلم حذف شدند، و شاهد تغییراتی هستیم. مثلاً در فیلم زن‌ها تک‌بعدی نیستند و از حقوق برابری نسبت به مردها برخوردار شده‌اند :)


پ.ن۲ (کرونا!): این روزها همه‌ی ما توی شبکه‌های مجازی، اطلاعات زیادی درباره این ویروس جدید و راه‌های مقابله و پیشگیری‌اش دریافت می‌کنیم. احتمالاً هر حرفی بزنم تکرار مکرراته. با این حال شاید خوندن این کتابچه براتون مفید باشه: [لینک] این دستورالعمل توسط کارگروه مقابله با کرونا در شانگهای نوشته شده، و گروه زبان چینی دانشگاه تهران به فارسی ترجمه کرده‌اند. بخونیدش، دست‌هاتون رو بشورید، و مراقب خودتون و خانواده‌تون باشید!

موافقین ۳ مخالفین ۰ ۹۸/۱۲/۱۰
علی ‌‌

نظرات  (۱۱)

۱۰ اسفند ۹۸ ، ۰۷:۳۸ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌: )‌‌‌‌‌‌‌

مسئله ی دو؛ 16 تا راس داره؟ اگه این یکی درسته بقیه عددا رو هم بگم D;

درست نبود هم که هیچی دیگه :-"

پاسخ:
درسته. یک امتیاز مثبت!
حالا خوبه سعی کنید فرمول کلی هم پیدا کنید. مثلاً بر اساس n، مکعب n-بعدی چند رأس (یا یال) داره.

اک! چه باحال بود!

به رسم to-readهای گودریدزم اضافه‌اش می‌کنم =)

 

من واقعا تو درک همین سه تا بعدی ملموس هم موندم، واقعا فکر کردن بهش گیجم می‌کنه، این‌که چرا من که این‌جام و اونی که یه مقدار اون‌طرف‌تره جاهامون فرق داره و چطور ما داریم حرکت می‌کنیم و چرا این‌جا و اون‌جا یکی نیستش و اینا، چرا شهر ما و تهران و انگلیس و دریا نقاط مختلفی هستن و چطور ممکنه که فاصله داشته باشن و اینا، نمی‌دونم، هرچند برای غالب افراد بدیهیاته من هرچی بیشتر فکر می‌کنم گیچ‌تر می‌شم.

 

پاسخ:
یادش بخیر من چقدر کتاب و فیلم و بازی گذاشته بودم برای بعد از کنکور. تقریباً هیچ‌کدومش عملی نشد =)

ذهن فعالی داری واقعاً :). خب میشه دنیا رو به صورت یه دستگاه مختصات سه‌بعدی مدل کرد. اونوقت اینجا و اونجا متفاوته، چون اعداد مختصاتش متفاوته. و اینکه ما حرکت می‌کنیم چون قوانین فیزیک اینطور حکم می‌کنن. البته می‌تونی بپرسی چرا؟ و فکر کنم باید توی فلسفه دنبال چراها بگردی. منم نه از فلسفه سررشته دارم و نه دیگه مثل قبل ازش خوشم میاد. خدا خواسته اینطوری باشه، و خب هست :)

اع، ای بابا، به‌هرحال امیدوارم من این‌جوری نشم، هرچند یحتمل بشم :/

 

دقیقا همین خب، من نمی‌تونم کره‌ی زمین رو یه محور سه بعدی تصور کنم، شاید بتونم کل کهکشانا رو یه محور سه بعدی تصور کنم -که نمی‌تونم و اونم فقط برام یه نقطه‌ست- و زمین و کل این‌جا و اون‌جا برام فقط یه نقطه‌ست، فقط فقط یه نقطه، یا یه مختصات سه مولفه‌ای و تمام :/

به نظرم نیاز به درکش ندارم فعلا، اگه یه زمان خواستم تله‌پرت کنم، بدون درکش ذهن بازتری خواهم داشت شاید!

پاسخ:
خیلی هم بد نگذشت حالا. به جاش یه عالمه درباره انتخاب رشته و... مشورت کردم. و یه عالمه استراحت کردم.

گفتی نقطه... توی بخش دوم کتاب آقای مربع نه تنها ابعاد بالاتر رو تجربه می‌کنه، که به دنیاهای پایین‌تر یعنی خطستان و نقطستان هم سر می‌زنه. «نقطستان» یعنی جهان صفربُعدی! جهانی که تنها از یک نقطه‌ی بی‌نوا تشکیل شده که خودش رو تمام جهان و مالک همه‌چیز به حساب میاره. حتی وقتی صدای مربع رو می‌شنوه، اون صدا رو از درون خودش می‌دونه. نه از جهت درکی داره، نه از دیگران، و نه حتی عدد ۲ رو می‌فهمه. واقعاً موجود رقت‌انگیزیه!

من چند وقت پیش معرفی این کتاب رو تو یه سایتی خوندم و یادمه خیلی با ایده‌ش حال کردم. این که الان دوباره بعد از چند وقت دارم معرفی‌شو از زبان کس دیگه‌ای می‌خونم به نظرم یه نشانه‌س که باید خودمم بشینم این کتابو بخونم :))

خیلی پست جذابی بود. هم معرفی کتاب، هم مسئله‌ها :)

میشه بگید چه انتشاراتی و چه کسی ترجمه‌ش کرده؟ نمی‌دونم چرا ولی حس می‌کنم راحت گیر نمیاد.

پاسخ:
بله این‌ها همه نشانه است! آیا وقت آن نرسیده که ایمان بیاورید؟ :)

کتاب رو نشر کارنامه منتشر کرده و مترجمش منوچهر انوره. بین خودمون بمونه، پی‌دی‌افش هم توی اینترنت موجوده...

عمیقا نمیتونم این حجم از ذوقی که تک به تک این پست در درونم ایجاد کرد رو بیان کنم :))) 

چقدر یه کتاب میتونه خفن باشه که اینقدر قشنگ در قالب ریاضیات به مسائل دیگه بپردازه فکر کنم وقتی کتاب رو بخونم یک هزارم ثانیه ام نتونم از خودم جداش کنم 

فضای چهار بعدی ! واقعا اعجاب انگیز نیست که این بشر تونسته اطلاعاتی از بعدی به دست بیاره که اصلا هیچی هیچی نمیدونه 

عمیقا ممنون که این کتاب رو معرفی کردید :)

پاسخ:
سلام؛
خوشحالم که براتون تا این حد جالب بوده. راستش وقتی برای اطرافیانم تعریف می‌کردم یه «خب که چی» خاصی توی چشم‌هاشون می‌دیدم! به قول حریربانو یه جون به جون‌هام اضافه شد :)
۱۰ اسفند ۹۸ ، ۱۱:۵۸ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌: )‌‌‌‌‌‌‌

تعداد رئوس از 2 به توان n بدست میاد. اون یکی امتیاز مثبتمم بدین تا رو بقیه روابط فکر کنم D:

حقیقتا دلم خواست یه روبیک از این چهار بعدیا داشته باشم. یه تخم مرغی دارم که هیچ وقت نتونستم حلش کنم؛ میخواستم اینم به اونا که حل نمیشن اضافه کنم D:

پاسخ:
n امتیاز مثبت گرفتید :)
روبیک چهاربعدی و تخم‌مرغی ندیدم تا حالا. من فقط روبیک ۳×۳×۳ داشتم. بچه که بودم دوست داشتم کلکسیون مکعب روبیک داشته باشم ولی متأسفانه (یا خوشبختانه!) توی شهرمون مدل‌های دیگه‌اش پیدا نمی‌شد. یادمه یه بار ۲×۲×۲ رو با کاغذ و چسب ساخته بودم :)
۱۰ اسفند ۹۸ ، ۱۲:۰۶ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌: )‌‌‌‌‌‌‌

این یکی احتمال زیاد درست نباشه. خب مثلا مربع در دو بعده؛ چهار ضلع داره. مکعب در سه بعده و 12 یال داره. 

خب بعد رو n بگیریم؛ تعداد یال میشه n در 2 به توان n-1. یعنی 4 در دو به توان 3 که میشه 32 تا.

[وی هیچ مسئولیتی در باب غلط بودن پاسخ بر عهده نمیگیرد]

پاسخ:
تبریک؛ n امتیاز مثبت دیگه!
این یکی آسون نبود واقعاً.
فکر کنم جواب درخوری به کاهنان پختستانی دادید که نسوان رو فاقد توان درک ریاضی می‌دونستند :)

تو سایت کتاب‌خونه‌مون سرچ کردم و خدا رو شکر کتابخونه داره :) پس نگران نباشین پی‌دی‌اف نمی‌گیرم، خودمم راحت نیستم باش.

راستی انیمیشن کوتاه‌تره رو هم دیدم. جالب بودش! البته متوجهم که گفتین یه جاهاش با کتاب متفاوته.

 

راستی برا اون مسئله‌ی اول باید انتگرال ۴گانه بگیریم؟ :) منظورم اینه که المانش ۴بعدی میشه. یه مدت دور بودم از ریاضی حتی درست یادم نیست تو مختصات کروی چطور المان می‌گرفتیم برا اینا :/

پاسخ:
خدا رو شکر :)

انگار سال ۲۰۱۲ نسخه دوم انیمیشن هم اومده به نام Flatland²: Sphereland. ولی توی اینترنت پیداش نکردم. فقط سایت رسمی‌اش هست که به قیمت 25$ می‌فروشه! آخه این درسته؟ :|

من هنوز انتگرال چهارگانه و مختصات کروی بلد نیستم. لذا پیشنهاد می‌کنم «به جای اینکه انتگرال چندگانه بگیرید، انتگرال یگانه را چندین بار بگیرید!!» اگه از تابع نیم‌دایره انتگرال بگیریم مساحت نیم‌دایره و در نتیجه دایره رو بدست میاریم. حالا یه کره رو در نظر بگیرید. از سطح مقطع‌های دایره‌ای که انتگرال بگیریم حجم کره به دست میاد. به همین ترتیب اگه از مقاطعِ کرویِ ابرکره انتگرال بگیریم، انتظار داریم که اندازه ابرکره رو بهمون بده.

البته فکر کنم راه سرراستش همون انتگرال چندگانه و المان کروی باشه...

نه واقعا درست نیست :(

 

پیشنهادتون عالی بود :)))

اینی که شما می‌گید هم می‌شه. ولی در هر دو مورد نمی‌دونم المان چهارم رو چی باید بذاریم. از جنس زاویه‌س مثلا یا طول؟

اگه مختصات کارتزین بود چون همه‌شون طولن راحت یه dw اضافه می‌کردیم مثلا (فکر کنم!) ولی اینجا تصوری از قضیه ندارم و البته من کلا با مختصات کروی مشکل داشتم از ابتدا :))

پاسخ:
از جنس طول بگیریم. همون مختصات دکارتی منظورمه.

بذارید یه بار حرفم رو درباره محاسبه حجم کره بگم. فرض کنید (S(r مساحت دایره به شعاع r باشه. اون وقت می‌تونیم با این انتگرال، به حجم کره برسیم:
V(R) = ∫ S(rₓ) dx (from -R to R)
و منظورم از rₓ، شعاع دایره‌ای از کره است که در محل x تشکیل میشه. طبق فیثاغورت:
R² = x² + rₓ²  →  rₓ = √(R² - x²)
اگه به یوتیوب دسترسی دارید، «اینجا» همین کار رو کرده. نهایتاً این انتگرال همون رابطه 4/3πR³ رو نتیجه می‌ده.


حالا من اینو تعمیم می‌دم به بعد بالاتر.
V₄(R) = ∫ V(rₓ) dx (from -R to R)
R² = x² + rₓ²  →  rₓ = √(R² - x²)

آهان متوجه شدم چطوری دارین می‌گین.

آره دیگه احتمالا این شکلی جواب میده😅

پاسخ:
آخه چرا اینجا ویرایشگر لاتک نداره؟ یعنی با خودشون نگفتن متخصصان و اهل قلم ممکنه نیاز به فرمول‌نویسی و انتگرال‌گیری توی کامنت‌ها داشته باشن؟ :)
این کاراکترها رو هم دونه‌دونه از گوگل پیدا کردم :)
∫ₓ²√₄π³

چه انتظاراتی دارین از بیان :)))

پاسخ:
و بدتر اینکه خودم رو متخصص و اهل قلم می‌دونم!

ارسال نظر

ارسال نظر آزاد است، اما اگر قبلا در بیان ثبت نام کرده اید می توانید ابتدا وارد شوید.
شما میتوانید از این تگهای html استفاده کنید:
<b> یا <strong>، <em> یا <i>، <u>، <strike> یا <s>، <sup>، <sub>، <blockquote>، <code>، <pre>، <hr>، <br>، <p>، <a href="" title="">، <span style="">، <div align="">
تجدید کد امنیتی